Pirâmide

Um pouco de história:

As pirâmides do Egito são estruturas antigas de alvenaria, situadas em forma de pirâmide, construídas pela civilização do Egito Antigo. Como sabemos, elas foram construídas como túmulos para os faraós e seus consortes durante os períodos do Antigo e do Médio Império.

                                                         Geometria:

Uma pirâmide é um sólido geométrico, formado pela reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em um ponto fixo V e outra sobre um polígono (base) pertencente a um plano que não contem V.

Elementos da pirâmide:

   Em uma pirâmide podemos destacar s seguintes elementos:

·        Base: é a região poligonal, em uma pirâmide quadrangular ABCD.

·        Vértice da pirâmide: é o ponto V.

·        Arestas da base: são os lados do polígono da base. Em uma outra forma de falar, são as ligações que existe na base.

·        Arestas laterais: são as demais arestas da pirâmide. Um exemplo: AV, BV, CV e DV.

·        Faces laterais: são todas as faces da pirâmide, exceto a base.

·        Altura: é a distância entre o ponto V e a base, é representada pela letra h.

Temos agora a classificação:

De acordo com o polígono da base, uma pirâmide pode ser dominada:

Uma pirâmide reta cujo polígono da base é regular, chama-se Pirâmide regular. Em uma pirâmide regular, destacamos:

·        -  Arestas laterais e faces laterais

·       -   Apótema da base

·        -  Apótema da pirâmide.

         g²= h²+m²       g: apótema da                                                                                                                          pirâmide

                                                                                                      h: altura

                                                                                                      m: apótema da base

                        Área da superfície de uma pirâmide

  Superfície lateral: é a reunião de todas as suas faces laterais. A área dessa superfície é chamada área lateral de pirâmide. (Al)

  Área da base: corresponde à área do polígono que a constitui. (Ab)

  Superfície total: é a reunião da superfície lateral com a base. A área dessa superfície é chamada área total da pirâmide. (At)

                              

                                         Jogando isso na formula fica:

                                                    At = Al + Ab

                              

                               Volume de uma pirâmide qualquer

Para calcular o volume de uma pirâmide, vamos considerar uma prisma triangular e decompô-lo em 3 pirâmides triangulares, como mostra na figura:

Podemos notar que a figura vermelha e amarela tem o mesmo volume, pois:

·        -  As bases DEF e ABC são congruentes, visto que correspondem à base do prisma;

·        - Tem a mesma altura, que é igual a altura do prisma.

Podemos notar também que as pirâmides vermelha e azul também tem o mesmo volume.

  

Assim, concluímos que as 3 piramides tem o mesmo volume.

                          V1 = V2 = V3 = VPirâmide

Logo, o volume de cada pirâmide corresponde à terça parte do volume do prisma:

Vprisma = V1 +V2 + V3 à  =3.Vpirâmide  à Vpirâmide = Vprisma

                                                                                                3

Vimos que Vprisma = Ab . h  . Assim

Vpirâmide = Ab.h

                      3

                       Elementos do tronco de uma pirâmide

Em um tronco de pirâmide podemos destacar os seguintes elementos:

Base maior: é a região poligonal ABCD;

Base menor: é a região poligonal A’B’C’D’;

Face lateral: são as demais faces do tronco, exceto as bases.

Altura do tronco: é a distância entre a base maior e a base menor.

Área da superfície de um tronco de pirâmide

Superfície lateral: é a reunião de todas as suas faces laterais. A área dessa superfície é chamada área lateral do tronco. (Al)

Área da base maior: é a área do polígono da base maior do tronco. (AB)

Área da base menor: é a área do polígono de base menor. (Ab)

Superfície total: é a reunião de todas as faces do tronco mais as bases. (At)

Isto é:

                  At=Al+AB+Ab

Volume do tronco de uma pirâmide

AB: área da base maior

Ab: área da base menor

H: altura da pirâmide

h: altura do topo da pirâmide

ht: altura do tronco da pirâmide

Para calcular o volume do tronco da pirâmide:

Vtronco=